Question

如圖, 三棱柱ABC－A₁B₁C₁中, 側棱A₁A⊥底面ABC,且各棱長均相等. D, E, F分別為棱AB, BC, A₁C₁的中點.

(Ⅰ) 證明EF//平面A₁CD;
(Ⅱ) 證明平面A₁CD⊥平面A₁ABB₁;
(Ⅲ) 求直線BC與平面A₁CD所成角的正弦值.

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）.

解析試題分析：（Ⅰ）連接，要證明平面，只需證明即可；（Ⅱ）欲證平面平面，即證平面內一直線與平面垂直，根據直線與平面垂直的判定定理證得平面，再根據平面與平面垂直的判定定理證明即得；（Ⅲ）先過作交于，利用（Ⅱ）中的結論得出平面，從而為所求的角，最后在直角中，求出即為直線與平面所成的角的正弦值.
試題解析：（Ⅰ）如圖，在三棱柱中，且，
連接，在中，因為、分別為、的中點，所以且，
又因為為的中點，可得，且，即四邊形為平行四邊形，
所以，又平面，平面，平面；

（Ⅱ）由于底面是正三角形，為的中點，故，
又由于側棱底面，平面，所以，
又，因此平面，而平面，所以平面平面；
（Ⅲ）在平面內，過點作交直線于點，連接，
由于平面平面，而直線是平面與平面的交線，
故平面，由此得為直線與平面所成的角，
設棱長為，可得，由