【題目】某地舉行水上運動會，如圖，岸邊有
兩點，
，小船從
點以
千米/小時的速度沿
方向勻速直線行駛，同一時刻運動員出發，經過
小時與小船相遇.（水流速度忽略不計）
（1）若
，
，運動員從
處出發游泳勻速直線追趕，為保證在1小時內（含1小時）能與小船相遇，試求運動員游泳速度的最小值；
（2）若運動員先從處沿射線
方向在岸邊跑步勻速行進
小時后，再游泳勻速直線追趕小船.已知運動員在岸邊跑步的速度為4千米小時，在水中游泳的速度為2千米小時，試求小船在能與運動員相遇的條件下的最大值.
【答案】（1）2；（2）
.
【解析】
（1）設運動員游泳的速度為
千米/小時，結合余弦定理即可表示出
，再由二次函數性質即可求得速度的最小值.
（2）根據余弦定理代入化簡變形，可轉化為一元二次方程，由一元二次方程有解，即可確定
，進而求得速度的最大值.
（1）設運動員游泳的速度為千米/小時，
由余弦定理可知
，
化簡可得
，
因為
，所以
，
則當
，即
時，取得最小值，此時
，
所以為保證在1小時內（含1小時）能與小船相遇，運動員游泳速度的最小值為2.
（2）運動員游泳時間為
小時，運動員在岸邊跑步的速度為4千米小時，在水中游泳的速度為2千米小時，
由余弦定理可知
，
整理化簡可得
，
設
，
則上式可化為
在
內有解，
則
，
解得
，
當
時，代入方程可解得
，滿足
，
所以小船在能與運動員相遇的條件下
的最大值為.
同步奧數系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（本小題滿分12分）如圖，在多面體
中，底面
是邊長為
的的菱形， 
，四邊形
是矩形，平面
平面
， 
， 
和
分別是
和
的中點．
（Ⅰ）求證：平面
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的大小．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知實數a滿足1＜a≤2，設函數f (x)＝
x3－
x2＋ax．
(Ⅰ) 當a＝2時，求f (x)的極小值；
(Ⅱ) 若函數g(x)＝4x3＋3bx2－6(b＋2)x (b∈R) 的極小值點與f (x)的極小值點相同，
求證：g(x)的極大值小于等于10．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在正三棱柱
中，
.
（1）求直線
與平面
所成角的正弦值；
（2）在線段
上是否存在點
？使得二面角
的大小為60°，若存在，求出
的長；若不存在，請說明理由.
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【題目】如圖，在空間之間坐標系
中，四棱錐
的底面
在平面
上，其中點
與坐標原點
重合，點
在
軸上，
，
，頂點
在
軸上，且
，
.
（1）求直線
與平面
所成角的大小；
（2）設
為
的中點，點
在
上，且
，求二面角
的正弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知從橢圓
的一個焦點看兩短軸端點所成視角為
,且橢圓經過
.
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在實數
,使直線
與橢圓有兩個不同交點
，且
（
為坐標原點），若存在,求出
的值.不存在,說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知方程
表示的曲線為
的圖象，對于函數有如下結論：①
在
上單調遞減；②函數
至少存在一個零點；③
的最大值為
；④若函數
和圖象關于原點對稱，則
由方程
所確定；則正確命題序號為( )
A.①③B.②③C.①④D.②④
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