Question

設長方體的對角線的長度是4，過每一頂點有兩條棱與對角線的夾角都是60°，則此長方體的體積是（ ）
A．
B．
C．8
D．

Answer 1

【答案】分析：由題意作出圖形，利用解直角三角形的知識求出長方體的過一個頂點的三條棱長，從而求出長方體的體積．
解答：解：如圖，

由題意可知：與對角線BH成60°角的一條棱AB和對角線所在的直角三角形中，和棱AB所對的角∠AHB是30°，可得棱AB的長度為2，
同理EH的長度也為2，在直角三角形HAB中，由勾股定理可得AH=，
又在直角三角形中HEA中，EA=．
所以，長方體的體積是V=2×．
故選B．
點評：本小題主要考查幾何體的體積，考查數形結合的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，屬中檔題．