Question

已知點A(1,0),點B(2,0).

(1)若動點M滿足·+||=0,求點M的軌跡C;

(2)若過點B的直線L₂(斜率不等于零)與(1)中的軌跡C交于不同的兩點E、F(E在B、F之間),試求△OBE與△OBF面積之比的取值范圍.

Answer 1

解:(1)設M(x,y),則=(1,0),=(x-2,y),=(x-1,y),

由·+2||=0得(x-2)+y·0+2·=0.整理,得+y²=1.

∴動點M的軌跡C為以原點為中心,焦點在x軸上,長軸長為2,短軸長為2的橢圓.

(2)如圖,由題意知直線L₂的斜率存在且不為零,設L₂方程為y=k(x-2)(k≠0),①

將①代入+y²=1,整理,得(2k²+1)x²-8k²·x+(8k²-2)=0,

由Δ＞0得0＜k²＜.設E(x₁,y₁),F(x₂,y₂),則②

令λ=,則λ=,由此可得=λ·,λ=,且0＜λ＜1.

由②知(x₁-2)+(x₂-2)=,(x₁-2)·(x₂-2)=x₁x₂-2(x₁+x₂)+4=.

∴=,即k²=.

∵0＜k²＜,∴0＜＜,解得3-2＜λ＜3+2.

又∵0＜λ＜1,∴3-2＜λ＜1.∴△OBE與△OBF面積之比的取值范圍是(3-2,1).