Question

已知拋物線x²＝4y的焦點為F，A、B是拋物線上的兩動點，且＝λFB(λ＞0)．過A、B兩點分別作拋物線的切線，設其交點為M．

(1)證明為定值；

(2)設△ABM的面積為S，寫出S＝f(λ)的表達式，并求S的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由已知條件，得F(0，1)，λ＞0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由， 　　即得(－x1，1－y1)＝λ(x2，y2－1)， 　　∴ 　　將①式兩邊平方并把y1＝， 　　y2＝代入得y1＝λ2y2　　③ 　　解②、③式得y1＝λ，y2＝，且有 　　x1x2＝＝－4λy2＝－4． 　　拋物線方程為y＝． 　　求導得＝． 　　所以過拋物線上A、B兩點的切線方程分別是 　　y＝x1(x－x1)＋y1，y＝x2(x－x2)＋y2， 　　即y＝x1x－，y＝x2x－． 　　解出兩條切線的交點M的坐標為()＝(，－1)． 　　所以＝(，－2)·(x2－x1，y2－y1) 　　＝＝0 　　所以為定值，其值為0． 　　　(2)由(1)知在△ABM中，FM⊥AB，因而S＝|AB||FM|． 　　|FM|＝ 　　＝ 　　因為|AF|、|BF|分別等于A、B到拋物線準線y＝－1的距離，所以 　　|AB|＝|AF|＋|BF|＝y1＋y2＋2＝λ＋2 　　于是S＝|AB||FM|＝，由，知S≥4， 　　且當λ＝1時，S取得最小值4．