Question

已知△ABC中，b²=ac
（1）求證：0＜B≤

π

3

（2）求y=

1+sin2B

sinB+cosB

的值域．

Answer 1

分析：（1）先利用余弦定理表示出cosB，再結合b²=ac求出cosB的范圍即可證明結論；
（2）先對所求的函數進行化簡，再結合第一問的結論以及輔助角公式的運用即可求出y=

1+sin2B

sinB+cosB

的值域．

解答：解：（1）證明：因為cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，
0＜B＜π
∴0＜B≤

π

3

．
（2）∵y=

1+sin2B

sinB+cosB

=

(sinB+cosB)2

sinB+cosB

=sinB+cosB=

2

sin（B+

π

4

）
又∵0＜B≤

π

3

∴

π

4

＜B+

π

4

≤

7π

12

∴

2

2

＜sin（B+

π

4

）≤1
∴1＜y≤

2

．
即y=

1+sin2B

sinB+cosB

的值域為（1，

2

]．

點評：本題主要考查余弦定理的運用以及輔助角公式的運用．一般在三角形中求角的范圍問題時，比較常用余弦定理．