Question

已知函數,,且點處取得極值．

（Ⅰ）求實數的值；

（Ⅱ）若關于的方程在區間上有解，求的取值范圍；

（Ⅲ）證明：．

Answer 1

（1）；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）求導，利用求值；（2）分離常數，構造函數，轉化為求函數的值域問題；（3）作差構造函數，將證明不等式恒成立問題轉化為求函數的最值問題.

解題思路: （1）求函數最值的步驟：①求導函數；②求極值；③比較極值與端點值，得出最值；

（2）若函數在某區間上單調遞增，則在該區間恒成立；“若函數在某區間上單調遞減，則在該區間恒成立.

試題解析：（Ⅰ）∵， ∴

∵函數在點處取得極值，

∴，即當時，

∴，則得.經檢驗符合題意 5分

（Ⅱ）∵,∴,

∴.

令, 6分

則.

∴當時，隨的變化情況表：

	1	（1,2）	2	（2，3）	3
		+	0	-
		↗	極大值	↘

計算得：，，，

所以的取值范圍為。 10分

（Ⅲ）證明：令，

則， 11分

令，則 ，

函數在遞增，在上的零點最多一個 12分

又，，

存在唯一的使得， 13分

且當時，；當時，.

即當時，；當時，.

在遞減，在遞增，

從而. 14分

由得即，兩邊取對數得：，，

，

從而證得.

考點：1.函數的極值與最值；2.導數的應用；3.函數的單調性.