Question

已知一家公司生產某種品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產1千件需另投入2.7萬元．設該公司一年內共生產該品牌服裝x千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為R（x）萬元，且R（x）=
（1）寫出年利潤W（萬元）關于年產量x（千件）的函數解析式；
（2）年產量為多少千年時，該公司在這一品牌服裝的生產中所獲得利潤最大？（注：年利潤=年銷售收入-年總成本）

Answer 1

【答案】分析：（1）由年利潤W=年產量x×每千件的銷售收入為R（x）-成本，又由，且年固定成本為10萬元，每生產1千件需另投入2.7萬元．我們易得年利潤W（萬元）關于年產量x（千件）的函數解析式；
（2）由（1）的解析式，我們求出各段上的最大值，即利潤的最大值，然后根據分段函數的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到結果．
解答：解：（1）當；
當x＞10時，W=xR（x）-（10+2.7x）=98--2.7x．
∴W=

（2）①當0＜x＜10時，由W'=8.1-=0，得x=9，
且當x∈（0，9）時，W'＞0；當x∈（9，10）時，W'＜0，
∴當x=9時，W取最大值，且
②當x＞10時，
當且僅當，
即x=時，W=38，
故當x=時，W取最大值38．
綜合①②知當x=9時，W取最大值38.6萬元，故當年產量為9千件時，該公司在這一品牌服裝的生產中所獲年利潤最大．
點評：本題考查的知識點是分段函數及函數的最值，分段函數分段處理，這是研究分段函數圖象和性質最核心的理念，具體做法是：分段函數的定義域、值域是各段上x、y取值范圍的并集，分段函數的奇偶性、單調性要在各段上分別論證；分段函數的最大值，是各段上最大值中的最大者．