Question

已知向量=（0，x），=（1，1），=（x，0），=（y²，1）（其中x，y是實數），又設向量，，且，點P（x，y）的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）設曲線C與y軸的正半軸的交點為M，過點M作一條直線l與曲線C交于另一點N，當|MN|=時，求直線 l 的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知，，由，能導出所求曲線C的方程．
（2）由點M（0，1），知直線l與x軸不垂直．設直線l的方程為y=kx+1，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由，得（1+2k²）x²+4kx=0，由此能得到所求直線的方程．
解答：解：（1）由已知
，（2分）
∵，∴（4分）
即所求曲線C的方程是：（6分）
（2）由（1）求得點M（0，1）．顯然直線l與x軸不垂直．
故可設直線l的方程為y=kx+1，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（8分）
由，消去y得：（1+2k²）x²+4kx=0，解得．（10分）
由|MN|=，解得：k=±1（12分）
∴所求直線的方程為x-y+1-0或x+y-1=0．（14分）
點評：本題考查直線方程和曲線方程的求法，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．