Question

（2013•內江二模）已知數列{a_n} 的首項a₁=5，前n項和為S_n，且S_n+1=S_n+n+5（n∈N^*）．
（Ⅰ）證明數列{a_n+1}是等比數列；
（Ⅱ）令f（x）=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，求函數f（x）在點x=1處的導數f′（1）并比較2f′（1）與23n²-13n的大�。�

Answer 1

分析：（I）根據a_n+1=S_n+1-S_n，得到n≥2時a_n+1和a_n關系式即a_n+1=2a_n+1，兩邊同加1得到a_n+1+1=2（a_n+1），最后驗證n=1時等式也成立，進而證明數列{a_n+1}是等比數列．
（II）通過（I）{a_n+1}的首項為5公比為2求得數列a_n+1的通項公式，進而求得a_n的通項公式，代入f（x）進而求出f'（x），再求得f‘（1），進而求得2f‘（1）．要比較2f'（1）與23n²-13n的大小，只需看2f′（1）-（23n²-13n）于0的關系．

解答：解：（I）由已知S_n+1=2S_n+n+5（n∈N^*），
可得n≥2，S_n=2S_n-1+n+4兩式相減得S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1）+1即a_n+1=2a_n+1
從而a_n+1+1=2（a_n+1）
當n=1時S₂=2S₁+1+5所以a₂+a₁=2a₁+6又a₁=5所以a₂=11
從而a₂+1=2（a₁+1）
故總有a_n+1+1=2（a_n+1），n∈N^*又a₁=5，a₁+1≠0
從而

an+1+1

an+1

=2即數列{a_n+1}是等比數列；
（II）由（I）知a_n=3×2ⁿ-1
因為f（x）=a₁x+a₂x²++a_nxⁿ
所以f′（x）=a₁+2a₂x++na_nx^n-1
從而f′（1）=a₁+2a₂++na_n=（3×2-1）+2（3×2²-1）++n（3×2ⁿ-1）
=3（2+2×2²++n×2ⁿ）-（1+2++n）=3（n-1）•2ⁿ⁺¹-

n(n+1)

2

+6．
由上2f′（1）-（23n²-13n）=12（n-1）•2ⁿ-12（2n²-n-1）
=12（n-1）•2ⁿ-12（n-1）（2n+1）
=12（n-1）[2ⁿ-（2n+1）]①
當n=1時，①式=0所以2f'（1）=23n²-13n；
當n=2時，①式=-12＜0所以2f'（1）＜23n²-13n
當n≥3時，n-1＞0又2ⁿ=（1+1）ⁿ=C_n⁰+C_n¹++C_n^n-1+C_nⁿ≥2n+2＞2n+1
所以（n-1）[2ⁿ-（2n+1）]＞0即①＞0從而2f′（1）＞23n²-13n．

點評：本題主要考查了數列中等比關系的確定．往往可以通過

an+1

an

=q，q為常數的形式來確定．解決本題的關鍵在于根據根據已知條件得到

an+1+1

an+1

=2即數列{a_n+1}是等比數列，才能進行第二問的求解．