Question

如圖，邊長為2的正方形ABCD中，點E是AB的中點，點F是BC的中點，將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點重合于點A′．
（1）求證：A′D⊥EF．
（2）求三棱錐D-A′EF的體積．

Answer 1

分析：（1）可得A′D⊥A′F，A′D⊥A′E，可判A′D⊥平面A′EF，可得結論；
（2）可得A′F=A′E=1，EF=

2

，由勾股定理可得A′E⊥A′F，易得△A′EF的面積，又A′D是三棱錐D-A′EF的底面A′EF上的高線，代入體積公式可得．

解答：解：（1）由正方形ABCD知，∠DCF=∠DAE=90°，
∴A′D⊥A′F，A′D⊥A′E，
∵A′E∩A′F=A′，A′E、A′F⊆平面A′EF．
∴A′D⊥平面A′EF．
又∵EF?平面A′EF，
∴A′D⊥EF．
（2）∵A′F=A′E=1，EF=

2

∴A′F²+A′E²=2=EF²，可得A′E⊥A′F，
∴△A′EF的面積為

1

2

×1×1=

1

2

，
∵A′D⊥平面A′EF．
∴A′D是三棱錐D-A′EF的底面A′EF上的高線，
故三棱錐A₁-DEF的體積為：V=

1

3

×

1

2

×2=

1

3

點評：本題考查線面垂直的判定，涉及棱錐的體積的求解和三角形的面積公式，屬中檔題．