Question

已知F（x）=

∫

x 0

(t2+2t-8)dt，（x＞0）．
（1）求F（x）的單調區間；
（2）求函數F（x）在[1，3]上的最值．

Answer 1

分析：（1）由定積分計算公式，結合微積分基本定理算出F(x)=

1

3

x3+x2-8x．再利用導數，研究F'（x）的正負，即可得到函數F（x）的單調增區間是（2，+∞），單調遞減區間是（0，2）．
（2）根據F（x）的單調性，分別求出F（1）、F（2）、F（3）的值并比較大小，可得F（x）在[1，3]上的最大值是F（3）=-6，最小值是F(2)=-

28

3

．

解答：解：依題意得，F(x)=

∫

x 0

(t2+2t-8)dt=(

1

3

t3+t2-8t)

|

x 0

=

1

3

x3+x2-8x，
定義域是（0，+∞）．（2分）
（1）F'（x）=x²+2x-8，
令F'（x）＞0，得x＞2或x＜-4； 令F'（x）＜0，得-4＜x＜2，
且函數定義域是（0，+∞），
∴函數F（x）的單調增區間是（2，+∞），單調遞減區間是（0，2）．（6分）
（2）令F'（x）=0，得x=2（x=-4舍），
由于函數在區間（0，2）上為減函數，區間（2，3）上為增函數，
且F(1)=-

20

3

，F(2)=-

28

3

，F（3）=-6，
∴F（x）在[1，3]上的最大值是F（3）=-6，最小值是F(2)=-

28

3

．（10分）

點評：本題利用定積分求一個函數的原函數，并研究原函數的單調性和閉區間上的最值．著重考查了定積分計算公式、利用導數研究函數的單調性與最值等知識，屬于中檔題．