【題目】設三棱錐
的每個頂點都在球
的球面上，
是面積為
的等邊三角形，
，
，且平面
平面
.
（1）求球的表面積；
（2）證明：平面
平面，且平面平面
.
（3）與側面平行的平面
與棱
，
，
分別交于
，
，
，求四面體
的體積的最大值.
【答案】（1）
（2）證明見解析（3）
【解析】
（1）先取
的中點
,連接
.根據
,得出
的外心為.再因為
,則
.平面
平面
,平面
平面
,所以
平面,球心
在上.得出是線段上靠近點的一個三等分點.然后求出球的半徑
,則得出球的表面積為.
（2）根據在上,則
平面,又
平面
,則有平面
平面.再證平面平面,所以有
平面
,又
平面,即可證得平面平面.
（3）先求
到平面的距離
.設
,到平面
的距離為
.由平面
平面,得到三角形相似
,則可得
的面積,求出
,得到到平面的距離為
,則四面體
的體積
.轉化為函數,利用導函數求得最大值.
（1）解：取的中點,連接.
因為,所以的外心為.
因為,所以.
又平面平面,平面平面,所以平面,
所以在上.
因為
是等邊三角形,所以是線段上靠近點的一個三等分點.
由題意得
,解得
,
所以球的半徑
,球的表面積為
.
（2）證明：因為在上,所以平面,
又平面,所以平面平面.
連接
,則
,又平面平面,所以平面,
又平面,所以平面平面.
（3）解：因為,所以到平面的距離
.
設,到平面的距離為.
因為平面平面,所以,則的面積為
.
又,所以到平面的距離為,
所以四面體的體積
.
設
,
,
當
時,
；當
時,
.
所以
,
即四面體的體積的最大值為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，將曲線
（
為參數）上任意一點
經過伸縮變換
后得到曲線
的圖形．以坐標原點
為極點，x軸的非負半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，已知直線
．
（1）求曲線的普通方程和直線
的直角坐標方程；
（2）點P為曲線上的任意一點，求點P到直線的距離的最大值及取得最大值時點P的坐標．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知直線l的參數方程為：
，（t為參數）．在以坐標原點0為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為ρ2﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ+4＝0．
（1）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；
（2）設直線l與曲線C交于A，B兩點，求
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
（a＞b＞0）長軸的兩頂點為A、B，左右焦點分別為F1、F2，焦距為2c且a=2c，過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）在雙曲線
上取點Q（異于頂點），直線OQ與橢圓C交于點P，若直線AP、BP、AQ、BQ的斜率分別為k1、k2、k3、k4，試證明：k1+k2+k3+k4為定值；
（3）在橢圓C外的拋物線K：y2=4x上取一點E，若EF1、EF2的斜率分別為
，求
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公司進行共享單車的投放與損耗統計，到去年
年底單車的市場保有量（已投入市場且能正常使用的單車數量）為
輛，預計今后每年新增單車1000輛，隨著單車的頻繁使用，估計每年將有200輛車的損耗，并且今后若干年內，年平均損耗在上一年損耗基礎上增加
％.
（1）預計
年底單車的市場保有量是多少？
（2）到哪一年底，市場的單車保有量達到最多？該年的單車保有量是多少輛（最后結果精確到整數）？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，若在定義域內存在
，使得
成立，則稱為函數
的局部對稱點.
（1）若
、
且
，證明：函數
必有局部對稱點；
（2）若函數
在區間
內有局部對稱點，求實數
的取值范圍；
（3）若函數
在
上有局部對稱點，求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知首項大于0的等差數列
的公差
，且
；
（1）求數列的通項公式；
（2）若數列
滿足：
，
，
，其中
；
①求數列的通項
；
②是否存在實數
，使得數列為等比數列？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由；
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