Question

（本小題滿分13分）

已知函數在處取得極值，且在處的切線的斜率為1.

（Ⅰ）求的值及的單調減區間；

（Ⅱ）設＞0，＞0，，求證：.

Answer 1

解：（Ⅰ）　　　　　　　 ………………………………2分

，∴ ，即，∴ ……3分

　　　　 ∴ ，又，∴ ，∴

綜上可知 　　　　　　　　　　　　 ……………………………4分

，定義域為＞0，　

由＜0 得 0＜＜，∴的單調減區間為……………6分

（Ⅱ）先證

即證

即證：　　 ………………………7分

令 ，∵＞0，＞0 ，∴ ＞0，即證……8分

令 則

∴

…………9分

① 當＞，即0＜＜1時，＞0，即＞0

在（0，1）上遞增，∴＜＝0，　 ……………………10分

② 當＜，即＞1時，＜0，即＜0

在（1，＋∞）上遞減，∴＜＝0，　 …………………11分

③ 當＝，即＝1時，＝＝0

綜合①②③知即

即　　　 …………12分

又

∴　

綜上可得　　 ……………13分