Question

（2013•上海）已知橢圓C的兩個焦點分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），短軸的兩個端點分別為B₁，B₂
（1）若△F₁B₁B₂為等邊三角形，求橢圓C的方程；
（2）若橢圓C的短軸長為2，過點F₂的直線l與橢圓C相交于P，Q兩點，且

F1P

⊥

F1Q

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由△F₁B₁B₂為等邊三角形可得a=2b，又c=1，集合a²=b²+c²可求a²，b²，則橢圓C的方程可求；
（2）由給出的橢圓C的短軸長為2，結合c=1求出橢圓方程，分過點F₂的直線l的斜率存在和不存在討論，當斜率存在時，把直線方程和橢圓方程聯立，由根與系數關系寫出兩個交點的橫坐標的和，把

F1P

⊥

F1Q

轉化為數量積等于0，代入坐標后可求直線的斜率，則直線l的方程可求．

解答：解：（1）設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
根據題意知

a=2b a2-b2=1

，解得a2=

4

3

，b2=

1

3

故橢圓C的方程為

3x2

4

+3y2=1．
（2）由2b=2，得b=1，所以a²=b²+c²=2，得橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1．
當直線l的斜率不存在時，其方程為x=1，不符合題意；
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x-1）．
由

y=k(x-1) x2 2 +y2=1

，得（2k²+1）x²-4k²x+2（k²-1）=0．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則
x1+x2=

4k2

2k2+1

，x1x2=

2(k2-1)

2k2+1

，

F1P

=(x1+1，y1)，

F1Q

=(x2+1，y2)
因為

F1P

⊥

F1Q

，所以

F1P

•

F1Q

=0，即
(x1+1)(x2+1)+y1y2=x1x2+(x1+x2)+1+k2(x1-1)(x2-1)
=(k2+1)x1x2-(k2-1)(x1+x2)+k2+1
=(k2+1)

2(k2-1)

2k2+1

-(k2-1)

4k2

2k2+1

+k2+1
=

7k2-1

2k2+1

=0，解得k2=

1

7

，即k=±

7

7

．
故直線l的方程為x+

7

y-1=0或x-

7

y-1=0．

點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了數量積的坐標運算，考查了直線和圓錐曲線的關系，考查了分類討論的數學思想方法和數學轉化思想方法，訓練了根與系數關系，屬有一定難度題目．