Question

已知函數f（x）=（x+2）ln（x+1）-ax2-x（a∈R）,g（x）=ln（x+1）.

(1)若a=0，F(x)=f(x)-g(x),求函數F（x）的極值點及相應的極值.

(2)若對于任意x2>0，存在x1滿足x1<x2且g(x1)=f(x2)成立，求a的取值范圍.

 

Answer 1

(1) 只有一個極小值點，極小值為0. (2)

【解析】

試題分析：(1)首先求出F（x）的表達式，然后求導，根據單數的性質，求出原函數的單調區間，即可求出函數F（x）的極值點及相應的極值.

(2) 設，依題意即求 在上存在零點時的取值范圍.即只需要在上恒成立. 即,在上恒成立.然后分，，，，根據導數的性質分別求使在上成立的a的取值范圍，最后求并集.

試題解析：(1),

,

為減函數;

為增函數,

所以只有一個極小值點，極小值為0. 4分

(2) 設

依題意即求 在上存在零點時的取值范圍.

又當時，，且在定義域內單調遞增，

所以只需要在上恒成立.

即，在上恒成立.

即,在上恒成立. 7分

若，顯然不成立,因為由第一問知在為增函數，

故

,即在恒成立,

不妨設，

，

, 9分

若,則，若，,所以為增函數，（不合題意）,

若，若，,為增函數，（不合題意）,

若，若,，為減函數,（符合題意）,

綜上所述,若時,恒成立,

則. 12分

考點：1.函數的導數；2.單數的性質；