Question

10．已知向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，$\overrightarrow c$的起點相同且滿足$|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=2，|{\overrightarrow b}|=\sqrt{6}，（\overrightarrow a-\overrightarrow c）•（\overrightarrow b-\overrightarrow c）=0$，則$\overrightarrow{|c|}$的最大值為3．

Answer 1

分析 可作作$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，根據條件可以得出OA=2，OB=$\sqrt{6}$，AC⊥BC，從而說明點C在以AB為直徑的圓上，從而當OC過圓心時，OC最長，即|$\overrightarrow{c}$|最大，設圓心為D，從而根據OC=OD+DC，由中線長定理，便可得出最大值．

解答 解：如圖，作$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，則$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{CB}$，

∵（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{c}$）=0，
∴$\overrightarrow{CA}$⊥$\overrightarrow{CB}$，
∴AC⊥BC，
∴點C在以AB為直徑的圓上，設圓心為D，D為AB中點；
由AB=2；
∴圓半徑為1；
∴當OC過D點時，OC最大，即|$\overrightarrow{c}$|最大，
由OD為中點，由中線長定理，可得
（2OD）²+AB²=2（OA²+OB²），
即有4OD²+2²=2[2²+（$\sqrt{6}$）²]，
解得OD=2，
則OC的最大值為2+1=3．
故答案為：3．

點評 本題考查數量積的計算公式，向量夾角的概念，用有線向量表示向量，以及向量垂直的充要條件，直徑所對的圓周角為直角，數形結合解題的方法．