Question

已知點P（6，8）是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一點，F₁，F₂為橢圓的兩焦點，若

PF1

•

PF2

=0，試求：
（1）橢圓的方程．
（2）求sin∠PF₁F₂的值．

Answer 1

分析：（1）利用數量積

PF1

•

PF2

=0，可得（-c-6）（c-6）+64=0，解得c．進而得到F₁，F₂，利用兩點間的距離公式可得2a=|PF₁|+|PF₂|，再利用b²=a²-c²即可得出b²．
（2）如圖所示，過點P作PM⊥x軸，垂足為M，則|PM|=8，|F₁M|=10+6=16，利用勾股定理可得|PF₁|，再利用sin∠PF₁F₂=

|PM|

|PF1|

即可得出．

解答：解：（1）∵

PF1

•

PF2

=0，
∴（-c-6）（c-6）+64=0，解得c=10．
∴F₁（-10，0），F₂（10，0），
∴2a=|PF1|+|PF2|=

(6+10)2+82

+

(6-10)2+82

=12

5

，
∴a=6

5

，b2=80．
∴橢圓方程為 

x2

180

+

y2

80

=1．
（2）如圖所示，過點P作PM⊥x軸，垂足為M，則|PM|=8，|F₁M|=10+6=16，
∴|PF1|=

|PM|2+|F1M|2

=

162+82

=8

5

，
∴sin∠PF₁F₂=

|PM|

|PF1|

=

8

8 5

=

5

5

．

點評：本題考查了向量垂直與數量積的關系、橢圓的定義域標準方程、勾股定理及其直角三角形的邊角關系等基礎知識與基本方法，屬于基礎題．