Question

已知點(diǎn)P在橢圓

x2

40

+

y2

20

=1上，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，△F₁PF₂是直角三角形，則這樣的點(diǎn)P有（　　）

• A、2個(gè)
• B、4個(gè)
• C、6個(gè)
• D、8個(gè)

Answer 1

分析：如圖，設(shè)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)是A，在三角形OAF1中，求得∠AOF₂=45°，從而∠F₁AF₂=90°，根據(jù)當(dāng)點(diǎn)P位于A（0，b）或（0，-b）處時(shí)，∠F₁PF₂最大．得到使得△F₁PF₂是直角三角形，則這樣的點(diǎn)P有多少個(gè)即可．

解答：解：如圖，設(shè)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)是A，
在三角形OAF1中，OA=

20

，AF2=

40

，
∴cos∠AOF₂=

OA

AF 2

=

2

2

，
∴∠AOF₂=45°，
∴∠F₁AF₂=90°，
由圖可知，△F₁PF₂是直角三角形，則這樣的點(diǎn)P有兩個(gè)（即下下兩個(gè)頂點(diǎn)）
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的性質(zhì)及其應(yīng)用，難度不大，正確解題的關(guān)鍵是知道當(dāng)點(diǎn)P位于A（0，b）或（0，-b）處時(shí)，∠F₁PF₂最大．