Question

已知函數f（x）=x²+ax+1（a＞0）．
（1）設g（x）=（2x+1）f（x），若y=g（x）與x軸恰有兩個不同的交點，試求a的取值集合；
（2）設h（x）=f（x）-x²-|1-

1

x

|（x∈（0，2]），是否同時存在實數m和M（M＞m），使得對每一個t∈（m，M），直線y=t與曲線y=h（x）恒有三個公共點？若存在，求出M-m的最大值I（a）；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：函數的零點與方程根的關系

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據題意，函數y=g（x）與x軸恰有兩個不同的交點，即方程g（x）=0有兩個不相等的實數根，求出a的取值集合；
（2）根據x∈（0，2]，去掉絕對值，求出h（x）的單調區間，畫出函數圖象，結合圖象求出符合條件a的取值范圍，從而求出M-m的最大值I（a）．

解答： 解：（1）∵函數f（x）=x²+ax+1（a＞0），g（x）=（2x+1）f（x），
∴g（x）=（2x+1）（x²+ax+1），
當y=g（x）與x軸恰有兩個不同的交點時，
方程x²+ax+1=0有兩個相等的實數根，
∴△=a²-4=0，
解得a=2或a=-2（不合題意，舍去），
∴a的取值集合是{2}；
（2）∵h（x）=f（x）-x²-|1-

1

x

|（x∈（0，2]），
∴當0＜x≤1時，1≤

1

x

，
h（x）=（x²+ax+1）-x²-

1

x

+1=ax-

1

x

+2；
當1＜x≤2時，1＞

1

x

，
h（x）=（x²+ax+1）-x²-1+

1

x

=ax+

1

x

；
∴h（x）=

ax- 1 x +2，0＜x≤1 ax+ 1 x ，1＜x≤2

；
又∵0＜x≤1時，h（x）=ax-

1

x

+2是單調增函數，h（x）≤a+1；
1＜x≤2時，h（x）=ax+

1

x

，
h′（x）=a-

1

x2

=

ax2-1

x2

，
令h′（x）=0，得x=

1

a

，
∴當1≤

1

a

≤2，即

1

4

≤a≤1時，在x=

1

a

時，h（x）取得最小值2

a

，
且h（x）在（1，

1

a

）上是減函數，在（

1

a

，2]上是增函數，如圖所示；
；
若存在實數m和M（M＞m），使得對每一個t∈（m，M），直線y=t與曲線y=h（x）恒有三個公共點，
則a+1＞2

a

，∴(

a

-1)2＞0，即a≠1，
∴

1

4

≤a＜1①；
又h（2）≥h（1），即2a+

1

2

≥a+1，∴a≥

1

2

②；
由①②得，

1

2

≤a＜1；
綜上，M-m的最大值I（a）=（a+1）-2

a

=(

a

-1)2=(

1 2

-1)2=

3

2

-

2

．

點評：本題考查了函數的圖象與性質的應用問題，也考查了分段函數的應用問題以及導數的應用問題，考查了數形結合的應用問題，是綜合性題目．