Question

（本小題滿分12分）定義在上的函數，如果滿足：對任意，存在常數，都有成立，則稱是上的有界函數，其中稱為函數的上界.已知函數，

（1）當時，求函數在上的值域，并判斷函數在上是否為有界函數，請說明理由；

（2）若函數在上是以4為上界的有界函數，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）函數在上不是有界函數;（2）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）將代入可得，令利用函數的單調性判斷出在上是單調遞增函數，即可求得，從而得到的值域，根據有界函數函數的定義，即可判斷出不是有界函數；

（Ⅱ）根據有界函數的定義，可得在上恒成立，利用參變量分離轉化為在上恒成立，令，則，，問題轉化為求的最大值和最小值，利用函數單調性的定義，分別判斷出函數和的單調性，即可求得最值，從容求得的取值范圍．

試題解析：（1）當時， ,令 ，因為在上單調遞增，，即在的值域為

故不存在常數，使成立，所以函數在上不是有界函數。

（2）由題意知，對恒成立。

， 令∴ 對恒成立 9分

∴

設，，由，

由于在上遞增，在上遞減，

在上的最大值為， 在上的最小值為

所以實數的取值范圍為。

考點：1.指數與指數函數；2.函數綜合.