Question

已知函數(shù)f（x）=

1

x2+1

（1）判斷函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．
（2）求出函數(shù)f（x）在[1，3]上的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性．
（2）利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)f（x）在[1，3]上單調(diào)遞減，從而求得函數(shù)f（x）在[1，3]上的最大值與最小值．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=

1

x2+1

 在（-∞，0）上的導(dǎo)數(shù) f′（x）=

-2x

(1+x2 )2

＞0，
故函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增．
（2）∵函數(shù)f（x）=

1

x2+1

在（0，+∞）上的導(dǎo)數(shù) f′（x）=

-2x

(1+x2 )2

＜0，
∴函數(shù)f（x）=

1

x2+1

在[1，3]上單調(diào)遞減，
故當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為 f（1）=

1

2

，當(dāng)當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為 f（3）=

1

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題．