Question

（2013•海淀區二模）已知等差數列{a_n}的前n項和為 S_n
（I）若a₁=1，S₁₀=100，求{a_n}的通項公式；
（II）若S_n=n²-6n，解關于n的不等式S_n+a_n＞2n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由給出的a₁=1，S₁₀=100，寫出前10項和后可求a₁₀，由首項和第10項可求公差，則等差數列的通項公式可求；
（Ⅱ）由給出的數列的前n項和求出通項，把S_n和a_n直接代入不等式求解即可．

解答：解：（I）設{a_n}的公差為d
因為a₁=1，S10=

a1+a10

2

×10=100，
所以a₁₀=19
所以d=

a10-a1

10-1

=

19-1

9

=2
所以a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1；
（II）因為Sn=n2-6n
當n≥2時，Sn-1=(n-1)2-6(n-1)
所以an=Sn-Sn-1=n2-6n-[(n-1)2-6(n-1)]=2n-7，n≥2
又n=1時，a₁=S₁=-5適合上式，
所以a_n=2n-7．
所以Sn+an=n2-4n-7
所以不等式S_n+a_n＞2n化為n²-4n-7＞2n，即n²-6n-7＞0
所以n＞7或n＜-1，
所以n＞7，n∈N．
則不等式S_n+a_n＞2n的解集為{n|n＞7，n∈N}．

點評：本題考查了等差數列的通項公式和前n項和公式，考查了不等式的解法，解答此題的關鍵是，由前n項和得到通項公式，是規律性的問題，要牢記掌握分n的范圍討論，此題是基礎題．