Question

若點(diǎn)P是曲線y=2-lnx上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y=-x的最小距離是（　　）

Answer 1

分析：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值、點(diǎn)到直線的距離公式即可得出．

解答：解：設(shè)點(diǎn)P（x，2-lnx）為曲線y=2-lnx上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y=-x的距離d=

|x+2-lnx|

2

，
令f（x）=x+2-lnx（x＞0），則f′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

，令f^′（x）=0，解得x=1．
當(dāng)x＞1時(shí)，f^′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f^′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值，也是最小值，且f（1）=3＞0．
∴點(diǎn)P到直線y=-x的最小距離d=

3

2

=

3 2

2

．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：整理掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值、點(diǎn)到直線的距離公式是解題的關(guān)鍵．