Question

6．在平面直角坐標系xOy中，若雙曲線${x^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（b＞0）$的焦點到其漸近線的距離等于拋物線y²=2px上的點M（1，2）到拋物線焦點的距離，求拋物線及雙曲線的標準方程．

Answer 1

分析 由題意可知：點M（1，2）在拋物線y²=2px上，則4=2p，p=2，則M到拋物線的焦點距離為$1+\frac{p}{2}$=2，則設雙曲線的焦點為$（\sqrt{1+{b^2}}，0）$，一條漸近線為y=bx，由$\frac{{b\sqrt{1+{b^2}}}}{{\sqrt{1+{b^2}}}}=2$，即可求得b的值，求得焦點坐標．

解答 解：∵點M（1，2）在拋物線y²=2px上，
∴4=2p，p=2…（2分）
∴M到拋物線的焦點距離為$1+\frac{p}{2}$=2，…（4分）
設雙曲線的焦點為$（\sqrt{1+{b^2}}，0）$，一條漸近線為y=bx…（6分）
∴$\frac{{b\sqrt{1+{b^2}}}}{{\sqrt{1+{b^2}}}}=2$，b=2…（8分）
∴拋物線方程為y²=4x，雙曲線的方程為${x^2}-\frac{y^2}{4}=1$．…（10分）

點評 本題考查拋物線及雙曲線的幾何性質，考查計算能力，屬于基礎題．