Question

設函數f(x)=

-2x+a

2x+1+b

(a＞0，b＞0)．
（1）當a=b=2時，證明：函數f（x）不是奇函數；
（2）設函數f（x）是奇函數，求a與b的值；
（3）在（2）條件下，判斷并證明函數f（x）的單調性，并求不等式f(x)＞-

1

6

的解集．

Answer 1

分析：（1）根據函數奇偶性的定義進行判斷函數f（x）不是奇函數；
（2）根據奇函數的性質建立方程即可求a與b的值；
（3）根據函數單調性的定義或性質證明函數f（x）的單調性，并利用單調性的性質解不等式f(x)＞-

1

6

．

解答：解：（1）當a=b=2時，f(x)=

-2x+2

2x+1+2

，
∵f(-1)=

1

2

，f（1）=0，
∴f（-1）≠-f（1），
∴函數f（x）不是奇函數．
（2）由函數f（x）是奇函數，得f（-x）=-f（x），
即

-2-x+a

2-x+1+b

=-

-2x+a

2x+1+b

對定義域內任意實數x都成立，
整理得（2a-b）•2^2x+（2ab-4）•2^x+（2a-b）=0對定義域內任意實數x都成立，
∴

2a-b=0 2ab-4=0

，
解得

a=-1 b=-2

或

a=1 b=2

經檢驗

a=1 b=2

符合題意．
（3）由（2）可知f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=

1

2

(-1+

2

2x+1

)
易判斷f（x）為R上的減函數，
證明：∵2^x+1在定義域R上單調遞增且2^x+1＞0，
∴

2

2x+1

在定義域R上單調遞減，且

2

2x+1

＞0，
∴f(x)=

-2x+1

2x+1+2

=

1

2

(-1+

2

2x+1

)在R上單調遞減．
由f(1)=-

1

6

，不等式f(x)＞-

1

6

，
等價為f（x）＞f（1），
由f（x）在R上的減函數可得x＜1．
另解：由f(x)＞-

1

6

得，即

1

2

(-1+

2

2x+1

)＞-

1

6

，
解得2^x＜2，∴x＜1．
即不等式的解集為（-∞，-1）．

點評：本題主要考查函數奇偶性的應用，以及函數單調性的證明和應用，考查函數性質的綜合應用．