Question

如圖，已知拋物線E：y²=x與圓M：（x-4）²+y²=r²（r＞0）相交于A、B、C、D四個點．
（Ⅰ）求r的取值范圍；
（Ⅱ）當四邊形ABCD的面積最大時，求對角線AC、BD的交點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）先聯立拋物線與圓的方程消去y，得到x的二次方程，根據拋物線E：y²=x與圓M：（x-4）²+y²=r²（r＞0）相交于A、B、C、D四個點的充要條件是此方程有兩個不相等的正根，可求出r的范圍．
（2）先設出四點A，B，C，D的坐標再由（1）中的x二次方程得到兩根之和、兩根之積，表示出面積并求出其的平方值，最后根據三次均值不等式確定得到最大值時的點P的坐標．
解答：解：（Ⅰ）將拋物線E：y²=x代入圓M：（x-4）²+y²=r²（r＞0）的方程，
消去y²，整理得x²-7x+16-r²=0（1）
拋物線E：y²=x與圓M：（x-4）²+y²=r²（r＞0）相交于A、B、C、D四個點的充要條件是：
方程（1）有兩個不相等的正根
∴
即．
解這個方程組得，．

（II）設四個交點的坐標分別為
、、、．
則由（I）根據韋達定理有x₁+x₂=7，x₁x₂=16-r²，
則
∴
令，
則S²=（7+2t）²（7-2t）下面求S²的最大值．
由三次均值有：
當且僅當7+2t=14-4t，即時取最大值．
經檢驗此時滿足題意．
故所求的點P的坐標為．
點評：本題主要考查拋物線和圓的綜合問題．圓錐曲線是高考必考題，要強化復習．