Question

如圖，已知拋物線E：y²=x與圓M：(x-4)²+y²=r²(r＞0) 相交于A、B、C、D四個點，
(Ⅰ)求r的取值范圍；
(Ⅱ)當四邊形ABCD的面積最大時，求對角線AC、BD的交點P的坐標．

Answer 1

解：(Ⅰ)將代入，并化簡得，①
E與M有四個交點的充要條件是方程①有兩個不等的正根x₁、x₂，
由此得，解得，
又r＞0，所以r的取值范圍是。
(Ⅱ)不妨設E與M的四個交點的坐標為：A，，
則直線AC、BD的方程分別為，
解得點P的坐標為，
設，由及(Ⅰ)知，
由于四邊形ABCD為等腰梯形，因而其面積，
則，
將代入上式，并令f（t）=S²，
得，
求導數，，令f′(t)=0，解得（舍去），
當0＜t＜時，f′(t)＞0；t=時，f′(t)=0；時，F(t)＜0，
故當且僅當t=時，f(t)有最大值，即四邊形ABCD的面積最大，故所求的點P的坐標為(，0)。