Question

已知數列{a_n}中，a₁=1，前n項和為S_n，且an+1=2Sn+2n+1-1（n∈N^*）．
（1）求a₂與a₃的值；
（2）設bn=an+2n，T_n是數列{b_n}的前n項和，求數列{T_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）在an+1=2Sn+2n+1-1（n∈N^*）中，令n=1求得a₂，再令n=2求出a₃
（2））由于an+1=2Sn+2n+1-1（n∈N^*），當n≥2時，an=2Sn-1+2n-1，兩式相減并整理得出an+1=3an+2n，經驗證n=1也適合．再考察

bn+1

bn

的比值為定值3，判定數列{b_n}為等比數列，在求和即可．

解答：解：（1）在an+1=2Sn+2n+1-1（n∈N^*）中，
令n=1得
a₂=2S₁+2²-1=5，
令n=2得
a₃=2S₂+2³-1=2（a₁+a₂）+2³-1=19
（2）∵an+1=2Sn+2n+1-1（n∈N^*），當n≥2時，an=2Sn-1+2n-1，
兩式相減得：an+1-an=2an+2n，整理得出an+1=3an+2n，又a2=3a1+2 ，
所以對于任意正整數n都有an+1=3an+2n，
∴

bn+1

bn

=

an+1+2n+1

an+2n

=

3an+2n+2n+1

an+2n

=

3an+3•2n

an+2n

=

3(an+2n)

an+2n

=3
故數列{b_n}是等比數列，其公比為3，首項為b₁=a₁+2=3．
得：bn=3×3n-1=3n，
從而Tn=

3(1-3n)

1-3

=

3n+1-3

2

點評：本題主要考查等比數列的判定、通項公式求解．考察轉化、變形構造、推理論證、計算能力．