Question

如圖,ABCD是邊長為1的正方形,M、N分別是DA、BC上的點,且MN∥AB,現沿MN折成直二面角AB-MN-CD.

(1)求證:平面ADC⊥平面AMD;

(2)設AM=x(0＜x＜1),MN到平面ADC的距離為y,試用x表示y;

(3)點M在什么位置時,y有最大值,最大值為多少?

Answer 1

(1)證明:∵ABCD是正方形,且MN∥AB∥CD,

    ∴MN⊥AM,MN⊥DM,即CD⊥AM,CD⊥DM.

    ∴CD⊥平面AMD.

    ∵CD平面ADC,∴平面ADC⊥平面AMD.

(2)解:∵MN∥CD,

    ∴MN∥平面ADC.故MN到平面ADC的距離即為M到平面ADC的距離.

    過M作MH⊥AD于H,

    ∵平面ADC⊥平面AMD,

    ∴MH⊥平面ADC,即MH為所求距離.

    在Rt△AMD中,求得y==(0＜x＜1).

(3)解:y≤=≤,當且僅當x=1-x,即x=時,y_max=,此時M為AD的中點.