Question

已知

（1）計算及的值。

（2）歸納出（n∈N）的值，再用數學歸納法加以證明。

 

Answer 1

答案：
解析：

當n=1時，顯然f(1)=2，當n=2時，f(2)=2+2=4， 當n=3時，f(3)=4+3=7，當n=4時，f(4)=f(3)+4，由此猜想：f(n)=f(n－1)+n， 把n取2，3，4……，n所得的n－1個式子累加， 得f(n)=2+2+3+4+…+n=1+，即。 （1）當n=1時，f(1)=，結論顯然成立。 （2）假設n=k時，結論成立，即平面內滿足條件的k條直線把平面分成的區域個數為f(k)=，則當n=k+1時，第k+1條直線與前k條直線有k個交點，這k個交點將第k+1條直線分成k+1段，而每一段又將它所在區域一分為二，這樣f(k+1)比f(k)多k+1。 ∴， ∴當n=k+1時，結論成立。 由（1）、（2）知，對任意n∈N結論都成立。