Question

設A和B是拋物線上的兩個動點，且在A和B處的拋物線切線相互垂直，已知由A、B及拋物線的頂點所成的三角形重心的軌跡也是一拋物線，記為L₁．對L₁重復以上過程，又得一拋物線L₂，余類推．設如此得到拋物線的序列為L₁，L₂，…，L_n，若拋物線的方程為y²=6x，經專家計算得，L₁：y²=2（x-1），L2：y2=

2

3

(x-1-

1

3

)=

2

3

(x-

4

3

)，L3：y2=

2

9

(x-1-

1

3

-

1

9

)=

2

9

(x-

13

9

)，…，Ln：y2=

2

Sn

(x-

Tn

Sn

)．   則2T_n-3S_n=

-1

．

Answer 1

分析：寫出分子上的數列觀察數列的結構，看出數列的前后兩項之差是一個等比數列，利用疊加的方法做出第n項，同樣寫出分母上數列的項觀察得到這是一個等比數列，寫出通項，做出最后兩個數的差，得到結果．

解答：解：由題意知1，4，13，40…組成一個數列，
數列的前后兩項之差是一個等比數列，
即a_n-a_n-1=3^n-1，
…
a₃-a₂=3²
a₂-a₁=3，
把上述式子相加得到a_n-1=3+3²+…+3^n-1
∴Tn=

3n-1

2

由1，3，9，27…組成的數列的通項是3^n-1，
∴s_n=3^n-1
∴2T_n-3S_n=2×

3n-1

2

-3×3n-1=-1
故答案為：-1

點評：本題考查歸納推理，是一個考查數列問題的題目，解題的關鍵是看清題目的中所給的數列的項，做出數列的通項，注意項與項數的對應．