Question

已知e為自然對數的底數，設函數f（x）=（e^x-1）（x-1）^k（k=1，2），則（ ）
A．當k=1時，f（x）在x=1處取得極小值
B．當k=1時，f（x）在x=1處取得極大值
C．當k=2時，f（x）在x=1處取得極小值
D．當k=2時，f（x）在x=1處取得極大值

Answer 1

【答案】分析：通過對函數f（x）求導，根據選項知函數在x=1處有極值，驗證f'（1）=0，再驗證f（x）在x=1處取得極小值還是極大值即可得結論．
解答：解：當k=2時，函數f（x）=（e^x-1）（x-1）²．
求導函數可得f'（x）=e^x（x-1）²+2（e^x-1）（x-1）=（x-1）（xe^x+e^x-2），
∴當x=1，f'（x）=0，且當x＞1時，f'（x）＞0，當＜x＜1時，f'（x）＜0，故函數f（x）在（1，+∞）上是增函數；
在（，1）上是減函數，從而函數f（x）在x=1取得極小值．對照選項．
故選C．
點評：本題考查了函數的極值問題，考查學生的計算能力，正確理解極值是關鍵．