Question

已知z是實系數方程x²+2bx+c=0的虛根，記它在直角坐標平面上的對應點為P_z，
（1）若（b，c）在直線2x+y=0上，求證：P_z在圓C₁：（x-1）²+y²=1上；
（2）給定圓C：（x-m）²+y²=r²（m、r∈R，r＞0），則存在唯一的線段s滿足：①若P_z在圓C上，則（b，c）在線段s上；②若（b，c）是線段s上一點（非端點），則P_z在圓C上、寫出線段s的表達式，并說明理由；
（3）由（2）知線段s與圓C之間確定了一種對應關系，通過這種對應關系的研究，填寫表（表中s₁是（1）中圓C₁的對應線段）．

線段s與線段s1的關系	m、r的取值或表達式
s所在直線平行于s1所在直線
s所在直線平分線段s1

Answer 1

分析：（1）（b，c）在直線2x+y=0上，求出方程的虛根，代入圓的方程成立，就證明P_z在圓C₁：（x-1）²+y²=1上；
（2）①求出虛根，虛根在定圓C：（x-m）²+y²=r²（m、r∈R，r＞0），推出c=-2mb+r²-m²，則存在唯一的線段s滿足（b，c）在線段s上；②（b，c）是線段s上一點（非端點），實系數方程為x²+2bx-2mb+r²-m²=0，b∈（-m-r，-m+r）此時△＜0，求出方程的根P_z，可推出P_z在圓C上．
（3）由（2）知線段s與圓C之間確定了一種對應關系，直接填寫表．

解答：解：（1）由題意可得2b+c=0，
解方程x²+2bx-2b=0，得z=-b±

-2b-b2

 i
∴點Pz( -b，  

-2b-b2

 )或Pz( -b，  -

-2b-b2

 )，
將點P_z代入圓C₁的方程，等號成立，
∴P_z在圓C₁：（x-1）²+y²=1上
（2）當△＜0，即b²＜c時，
解得z=-b±

c-b2

i，
∴點Pz( -b，  

c-b2

 )或Pz( -b，  -

c-b2

 )，
由題意可得（-b-m）²+c-b²=r²，
整理后得c=-2mb+r²-m²，
∵△=4（b²-c）＜0，（b+m）²+c-b²=r²，∴b∈（-m-r，-m+r）
∴線段s為：c=-2mb+r²-m²，b∈[-m-r，-m+r]
若（b，c）是線段s上一點（非端點），
則實系數方程為x²+2bx-2mb+r²-m²=0，b∈（-m-r，-m+r）
此時△＜0，且點Pz(-b，

r2-(b+m)2

)
Pz(-b，-

r2-(b+m)2

)在圓C上
（3）表

線段s與線段s1的關系	m、r的取值或表達式
s所在直線平行于s1所在直線	m=1，r≠1
s所在直線平分線段s1	r2-（m-1）2=1，m≠1
線段s與線段s1長度相等	（1+4m2）r2=5

點評：本題考查復數的基本概念，直線和圓的方程的應用，考查學生分析問題解決問題的能力，是中檔題．