Question

已知A、B、C是直線l上的三點，向量、、滿足：-（y+1-lnx）+=，（O不在直線l上，a＞0）
（1）求y=f（x）的表達式；
（2）若函數f（x）在[1，+∞）上為增函數，求a的范圍；
（3）求證：lnn＞+++…+對n≥2的正整數n恒成立．

Answer 1

解：（1）由已知得：=（y+1-lnx） +，由A、B、C共線得：
y+1-lnx+=1，整理得：y=lnx+
（2）f（x）=lnx+=lnx+-
∴f′（x）=-≥0在x∈[1，+∞）上恒成立
∴a≥在x∈[1，+∞）上的最大值，又≤1
∴a≥1
證明：（3）當a=1時，f（x）=lnx+-1
由（2）知當x∈[1，+∞）時，f（x）=lnx+-1≥f（1）=0
∴lnx≥1-（僅x=1時取“=”）
令x=得：ln＞1-，即：ln＞
∴ln+ln+ln+…+ln＞+++…+
分析：（1）根據三點共線的充要條件，可得y+1-lnx+=1，整理可得y=f（x）的表達式；
（2）若函數f（x）在[1，+∞）上為增函數，則f′（x）≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，進而求出a的范圍；
（3）當a=1時，f（x）=lnx+-1，結合（2）中函數的單調性，可得lnx≥1-，令x=得：ln＞，進而利用對數的運算性質，可證得結論．
點評：本題考查的知識點是不等式的證明，函數解析式的求法，導數法求函數的單調性，是函數與不等式問題的綜合應用，難度較大．