Question

已知兩條不重合的直線m、n，兩個互不重合的平面α、β，給出下列命題：
①若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，則α⊥β；
②若m∥α，n∥β，且m∥n，則α∥β；
③若m⊥α，n∥β，則m⊥n，則α⊥β；
④若m⊥α，n∥β，且m∥n，則α∥β．
其中正確命題的個數為（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：①若α∥β，則由若m⊥α，n⊥β，推出m∥n與m⊥n矛盾，因此α與β不平行，所以一定相交，由α與β的法向量垂直，則可以得出α⊥β．
②若α∩β=l，且m∥l時也滿足條件，故不一定α∥β．
③由條件也可能α∥β．④由條件也可能α與β相交．

解答：解：①若α∥β，由m⊥α，得m⊥β，再由n⊥β，可得m∥n，這與m⊥n矛盾；若α與β相交，由已知m⊥α，n⊥β，且m⊥n，可知α與β的法向量垂直，則可以得出α⊥β，因此①正確．
②若α∩β=l，且m∥n∥l，則可滿足m∥α，n∥β，故滿足已知條件的α與β不一定平行，因此②不正確．
③若α∥β，又n∥β，m⊥α，于是m⊥n，也滿足條件，故③不正確．
④若α⊥β，又m⊥α，n∥β，則可能有m∥n，故④不正確．
綜上可知只有①正確．
故選B．

點評：本題綜合考查了線面、線線之間的平行與垂直的關系，正確理解其判定定理與性質定理是解決問題的關鍵，舉出反例可以否定一個命題．