Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線的參數(shù)方程為（， 為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸，取相同的長度單位建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最大值；

（Ⅱ）若曲線上的所有點(diǎn)都在直線的下方，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）將直線的極坐標(biāo)方程化為普通方程，進(jìn)而由圓的參數(shù)方程得曲線上的點(diǎn)到直線的距離， ，利用三角函數(shù)求最值即可；

（2）曲線上的所有點(diǎn)均在直線的下方，即為對(duì)，有恒成立，即（其中）恒成立，進(jìn)而得.

試題解析：

（1）直線的直角坐標(biāo)方程為.

曲線上的點(diǎn)到直線的距離，

，

當(dāng)時(shí)， ，

即曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為.

（2）∵曲線上的所有點(diǎn)均在直線的下方，

∴對(duì)，有恒成立，

即（其中）恒成立，

∴.

又，∴解得，

∴實(shí)數(shù)的取值范圍為.