Question

工廠生產某種產品，次品率p與日產量x（萬件）間的關系為P=

1 6-x ，0＜x≤c 2 3 ，x＞c

（c為常數，且0＜c＜6），已知每生產1件合格產品盈利3元，每出現1件次品虧損1.5元．
（1）將日盈利額y（萬元）表示為日產量x（萬件）的函數；
（2）為使日盈利額最大，日產量應為多少萬件？（注：次品率=

次品數

產品總數

×100%）

Answer 1

分析：（1）要求日盈利額y（萬元），只要找出日產量x（萬件）中正品與次品的數量，根據分段函數分段研究，針對不同的次品率得到不同的正品與次品數即可；
（2）利用函數的導數求函數的最大值．

解答：解：（1）當x＞c時，p=

2

3

∴y=

1

3

•x•3-

2

3

•x•

3

2

=0（1分）
當0＜x≤c時，p=

1

6-x

∴y=(1-

1

6-x

)•x•3-

1

6-x

•x•

3

2

=

3

2

•

9x-2x2

6-x

（3分）
∴日盈利額y（萬元）與日產量x（萬件）的函數關系式為y=

3(9x-2x2) 2(6-x) ，0＜x≤c 0 ，x＞c

（6分）
（2）由（1）知，當x＞c時，日盈利額為0．
當0＜x≤c時，∵y=

3(9x-2x2)

2(6-x)

∴y′=

3

2

×

(9-4x)(6-x)+(9x-2x2)

(6-x)2

令y'=0得x=3或x=9（舍去）（8分）
①當0＜c＜3時，
∵y'＞0，∴y在區間（0，c]]上單調遞增，∴y_最大值=f（c）=

3(9c-2c2)

2(6-c)

，
此時x=c（10分）
②當3≤c≤6時，在（0，3）上，y'＞0，
在（3，6）上y'＜0∴y_最大值=f（3）=

9

2

綜上，若0＜c＜3，則當日產量為c萬件時，日盈利額最大；
若3≤c＜6，則當日產量為3萬件時，日盈利額最大（13分）

點評：本題考查分段函數的應用與計算以及函數的導數求函數最值，要求熟練掌握求導法則以及導數法判斷函數的單調性解決問題，是中等題．