Question

已知三點O（0,0），A（-2,1），B（2,1），曲線C上任意一點M（x，y）滿足.

（1）   求曲線C的方程；

（2）動點Q（x₀，y₀）（-2＜x₀＜2）在曲線C上，曲線C在點Q處的切線為l向：是否存在定點P（0，t）（t＜0），使得l與PA，PB都不相交，交點分別為D,E，且△QAB與△PDE的面積之比是常數？若存在，求t的值。若不存在，說明理由。

 

Answer 1

【答案】

 （1）    （2）2

【解析】（1）依題意可得，

，

由已知得，化簡得曲線C的方程：

（2）假設存在點P（0，t）（t<0）滿足條件，則直線PA的方程是，直線PB的方程是，曲線C在點Q處的切線l的方程為它與y軸的交點為，由于，因此

①當時， ，存在，使得，即l與直線PA平行，故當時不符合題意

②當時，，所以l 與直線PA，PB一定相交，分別聯立方程組，

解得D，E的橫坐標分別是

則，又，

有，又

于是

對任意，要使△QAB與△PDE的面積之比是常數，只需t滿足，

解得t=-1，此時△QAB與△PDE的面積之比為2，故存在t=-1，使△QAB與△PDE的面積之比是常數2。

【點評】本題以平面向量為載體，考查拋物線的方程，直線與拋物線的位置關系以及分類討論的數學思想. 高考中，解析幾何解答題一般有三大方向的考查.一、考查橢圓的標準方程，離心率等基本性質，直線與橢圓的位置關系引申出的相關弦長問題，定點，定值，探討性問題等；二、考查拋物線的標準方程，準線等基本性質，直線與拋物線的位置關系引申出的相關弦長問題，中點坐標公式，定點，定值，探討性問題等；三、橢圓，雙曲線，拋物線綜合起來考查.一般橢圓與拋物線結合考查的可能性較大，因為它們都是考綱要求理解的內容.