Question

設(shè)函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，且時，取極小值。

（1）求，，，的值；

（2）當(dāng)時，圖像上是否存在兩點(diǎn)，使得過此兩點(diǎn)處的切線互相垂直？試證明你的結(jié)論。

（3）若，求證：。

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱

 ∴對任意實(shí)數(shù)，有

∴

即恒成立，∴。

∴，

∵時，取極小值，∴，

∴。

（2）當(dāng)時，圖像上不存在這樣的兩點(diǎn)使結(jié)論成立。

假設(shè)圖像上存在兩點(diǎn)使得過此兩點(diǎn)處的切線互相垂直，

則由知兩點(diǎn)處的切線斜率分別為

且      （*）

∵，∴與（*）矛盾。

（3）∵，令得，

∵時，，

時，。

∴在上是減函數(shù)，且；，

∴在上，

∵時，

。