Question

函數y=2

1-x

+

2x+1

的最大值為

3

．

Answer 1

分析：由函數解析式求出函數的定義域，將函數變為y=2

1-x

+

2

x+ 1 2

，再利用柯西不等式，即可得到結論．

解答：解：由題意得，

1-x≥0 2x+1≥0

，解得-

1

2

≤x≤1，
則函數的定義域是[-

1

2

，1]，
由柯西不等式得，
y=2

1-x

+

2x+1

=2

1-x

+

2

x+ 1 2

≤

4×2

×

1-x+x+ 1 2

=3，
當且僅當2

1-x

=

2x+1

，即x=

1

2

時取到等號，
則當x=

1

2

時，函數的最大值是3，
故答案為：3．

點評：本題考查了柯西不等式求函數最值，關鍵是對所給函數解析式靈活變形，再應用柯西不等式，此類型是函數中兩個根式變量的系數不互為相反數（互為相反數時可用基本不等式），但是符號相反，注意先求函數的定義域，驗證等號成立的條件．