Question

【題目】已知函數(shù)

（1）求函數(shù)的極值

（2）定義：若函數(shù)在區(qū)間 上的取值范圍為，則稱區(qū)間為函數(shù)的“美麗區(qū)間”．試問函數(shù)在上是否存在“美麗區(qū)間”？若存在，求出所有符合條件的“美麗區(qū)間”；若不存在，請(qǐng)說明理由

Answer 1

【答案】(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值為1，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值為．(2)見解析.

【解析】

（1）利用函數(shù)的正負(fù)性，來求原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可得函數(shù)的極值；
（2）據(jù)“域同區(qū)間”的定義得到，則方程有兩個(gè)大于3的相異實(shí)根．，然后利用方程根的情況列式求解，即可得出結(jié)論．

（1）因?yàn)?/span>，

所以 ．

令，可得或．

則在上的變化情況為：

		1		3
	+	0	－	0	+
	增函數(shù)	1	減函數(shù)		增函數(shù)

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值為1，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值為．

（2）假設(shè)函數(shù)在上存在“美麗區(qū)間” ，

由（1）知函數(shù)在上單調(diào)遞增．

所以即

也就是方程有兩個(gè)大于3的相異實(shí)根．

設(shè) ，

則．

令 ，解得，．

當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)， ，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．

因?yàn)?/span>，，，

所以函數(shù)在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)．

這與方程有兩個(gè)大于3的相異實(shí)根相矛盾，所以假設(shè)不成立．

所以函數(shù)在上不存在“美麗區(qū)間”．