Question

已知函數f（x）=

3

2

sin2x-cos²x-

1

2

，（x∈R）
（Ⅰ） 求函數f（x）的最大值及取得最大值時x的值；
（Ⅱ）設△ABC的內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且C=

3

，f（C）=0，若向量

m

=（1，sinA），

n

=（2，sinB）共線，求a、b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f（x）解析式第二項利用二倍角的余弦函數公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，根據正弦函數的值域確定出f（x）的最大值及此時x的值即可；
（Ⅱ）由f（C）=0，求出C的度數，確定出cosC的值，再由c的值，利用余弦定理列出關系式，再由兩向量坐標及兩向量共線，利用平面向量的數量積運算法則列出關系式，利用正弦定理化簡，將兩關系式聯立即可求出a與b的值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-1=sin（2x-

π

6

）-1，
∵-1≤sin（2x-

π

6

）≤1，
即sin（2x-

π

6

）最大值為1，
則f（x）的最大值為1-1=0，
此時2x-

π

6

=

π

2

+2kπ，即x=

π

3

+kπ，k∈Z；
（Ⅱ）由f（C）=0得：sin（2x-

π

6

）-1=0，
即sin（2C-

π

6

）=1，
∴2C-

π

6

=

π

2

，即C=

π

3

，
∵向量

m

=（1，sinA），

n

=（2，sinB）共線得：sinB=2sinA，
由正弦定理得b=2a，①
由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC，
即a²+b²-ab=3，②
聯立①②，解得：a=1，b=2．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，二倍角的余弦函數公式，以及兩角和與差的正弦函數，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．