Question

如圖一，平面四邊形關于直線對稱，．

把沿折起（如圖二），使二面角的余弦值等于．對于圖二，

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）證明：平面；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．

 

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

（2）略

（3）

【解析】解：（Ⅰ）取的中點，連接，

由，得：                                      

就是二面角的平面角， ……………………2分

在中，

    ………………………………………4分                                                                                                                     

（Ⅱ）由，

 

，   又平面．………………8分

（Ⅲ）方法一：由（Ⅰ）知平面平面

∴平面平面平面平面，

作交于，則平面，

就是與平面所成的角．……12分

方法二：設點到平面的距離為，

∵              

  于是與平面所成角的正弦為   ．

方法三：以所在直線分別為軸，軸和軸建立空間直角坐標系，

 則．

設平面的法向量為，則

， ，

取，則，  于是與平面所成角的正弦即

．