Question

（本題滿分13分）

如圖一，平面四邊形關于直線對稱，。

把沿折起（如圖二），使二面角的余弦值等于。對于圖二，

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）證明：平面；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）． 

【解析】

試題分析：（I）取BD的中點E，先證得∠AEC就是二面角A-BD-C的平面角，再在△ACE中利用余弦定理即可求得AC；

（II）欲證線面垂直，轉化為證明線線垂直，證明AC⊥BC，AC⊥CD即可；

（III）欲求直線AC與平面ABD所成角，先結合（I）中的垂直關系作出直線AC與平面ABD所成角，最后利用直角三角形中的邊角關系即可求出所成角的正弦值．

解：（Ⅰ）取的中點，連接，

由，得：                                      

就是二面角的平面角，……………2分

在中，

   …………………………………4分                                                                                                                    

（Ⅱ）由，

 

，   又平面．……………8分

（Ⅲ）方法一：由（Ⅰ）知平面平面

∴平面平面平面平面，

作交于，則平面，

就是與平面所成的角．……13分

方法二：設點到平面的距離為，

∵              

  于是與平面所成角的正弦為   ．

方法三：以所在直線分別為軸，軸和軸建立空間直角坐標系，  則．

設平面的法向量為，則

， ，

取，則，  于是與平面所成角的正弦即

． 

考點：本試題主要考查了余弦定理的運用，二面角、線面角的求法，線面垂直的判定，以及數形結合數學、空間想象能力或用向量解決立體幾何問題的方法能力．

點評：解決該試題的關鍵是利用定義法得到二面角是該試題的突破口，并能結合三角形的與線訂立的到邊AC的長度。熟練運用線面垂直的判定定理和性質定理。