Question

【題目】已知函數(shù).

若在其定義域上單調(diào)遞減，求的取值范圍；

若存在兩個(gè)不同極值點(diǎn)與，且，求證.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由在其定義域上單調(diào)遞減，得到恒成立，即恒成立，用導(dǎo)數(shù)的方法求出的最小值即可；

（2）若存在兩個(gè)不同極值點(diǎn)與，且，欲證：，只需證：，即證，再根據(jù)，得到，，再令，得到，設(shè)，由導(dǎo)數(shù)方法研究其單調(diào)性即可得出結(jié)論.

解：（1）由于的定義域?yàn)?/span>，且，若在其定義域上單調(diào)遞減，則恒成立，即恒成立.

令，

則隨著的變化，與的變化如下表所示

	-	0	+
	↘	極小值	↗

所以.

所以

（2）若存在兩個(gè)不同極值點(diǎn)與，且，

欲證：.

只需證：.

只需證：.

只需證：.

因?yàn)?/span>，，，，

所以，

所以

令，則，則，

設(shè)，則，

可知函數(shù)在上單調(diào)遞增

所以 .

所以成立.