Question

已知定義在R上的函數f（x），當x∈[-1，1]時，f(x)=2

x

3

+3

x

2

+1，且對任意的x滿足f（x-2）=Mf（x）（常數M≠0），則函數f（x）在區間[3，5]上的最小值與最大值之比是（　　）

• A．

  1

  6

• B．

  1

  4

• C．

  1

  3

• D．

  1

  2

Answer 1

分析：由題設條件，確定函數f（x）在區間[3，5]上的解析式，再由所得的解析式，利用導數知識，求出函數在區間[3，5]上的最小值與最大值，即可求得結論．

解答：解：由題意對任意的x滿足f（x-2）=Mf（x）（常數M≠0），
∴f（x）=

f(x-2)

M

=

f(x-4)

M2

∵x∈[3，5]，∴x-4∈[-1，1]，
∵x∈[-1，1]時，f(x)=2

x

3

+3

x

2

+1，
∴f(x-4)=2

(x-4)

3

+3

(x-4)

2

+1
∴f（x）=

2 (x-4) 3   +3 (x-4) 2   +1

M2

（x∈[3，5]）
∴f′（x）=

6 (x-4) 2   +6(x-4)

M2

=

6(x-3)(x-4)

M2

∴函數在[3，4]上單調遞減，在[4，5]上單調遞增
∴f（3）=

2

M2

，f（4）=

1

M2

，f（5）=

6

M2

∴函數f（x）在區間[3，5]上的最小值為

1

M2

，最大值為

6

M2

∴函數f（x）在區間[3，5]上的最小值與最大值之比是

1

6

故選A．

點評：本題考查函數解析式的確定，考查導數知識的運用，考查函數的最值，屬于中檔題．