Question

二次函數(shù)f（x）=px²+qx+r中實(shí)數(shù)p、q、r滿足++=0，其中m＞0，求證：
（1）pf（）＜0；
（2）方程f（x）=0在（0，1）內(nèi)恒有解．

Answer 1

【答案】分析：（1）把x=代入原函數(shù)，利用題設(shè)中p、q、r的關(guān)系進(jìn)一步證明．
（2）先對(duì)p進(jìn)行分類討論，再對(duì)r進(jìn)行分類討論．
解答：證明：（1）pf（）
=p[p（）²+q（）+r]
=pm[++]
=pm[-]
=p²m[]
=p²m[-]．
由于f（x）是二次函數(shù)，故p≠0．
又m＞0，所以pf（）＜0．
（2）由題意，得f（0）=r，f（1）=p+q+r．
①當(dāng)p＞0時(shí)，由（1）知f（）＜0．
若r＞0，則f（0）＞0，又f（）＜0，
∴f（x）=0在（0，）內(nèi)有解；
若r≤0，則f（1）=p+q+r=p+（m+1）（--）+r=-＞0，
又f（）＜0，
所以f（x）=0在（，1）內(nèi)有解．
因此方程f（x）=0在（0，1）內(nèi)恒有解．
②當(dāng)p＜0時(shí)，同樣可以證得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：（1）題目點(diǎn)明是“二次函數(shù)”，這就暗示著二次項(xiàng)系數(shù)p≠0，若將題中的“二次”兩個(gè)字去掉，所證結(jié)論相應(yīng)更改．
（2）對(duì)字母p、r分類時(shí)先對(duì)哪個(gè)分類是有一定講究的．本題的證明中，先對(duì)p分類，然后對(duì)r分類顯然是比較好的．