Question

設函數，（a＞0），且函數y=f（x）-9x=0的極值點分別為1、4
（1）當a=-2且y=f（x）過原點時，求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在（-∞，+∞）內無極值，求a的取值范圍．

Answer 1

解：f′（x）=ax²+2bx+c，
由題意可得：1，4 是方程ax²+2bx+c-9=0的兩根，
所以b=-a，c=4a+9．
（1）若a=-2，代入上式得：b=5，c=1，
又f（0）=0，所以d=0，
所以f（x）=-x³+5x²+x．
（2）依題意：f（x）在（-∞，+∞）上單調，
所以f′（x）ax²+2bx+c≥0恒成立，
則4b²-4ac≤0，即25a²-4a（4a+9）≤0，
解得0＜a≤4．
所以a的取值范圍為（0，4]．
分析：（1）由題意可得1，4是y′=0的兩根，從而可得a，b，c間的關系，把a=-2代入關系式及過原點可求得a，b，c值；
（2）f（x）在（-∞，+∞）內無極值說明函數f（x）在（-∞，+∞）上單調及a＞0可得f′（x）≥0恒成立，由此可得一不等式，解出即可．
點評：本題考查函數在某點取得極值的條件，可導函數f（x）在某點處取得極值，須滿足①在該點處導數為0；②在該點左右兩側導數異號．