Question

討論解關于x的方程lgx+lg（4-x）=lg（a+2x）的解的個數．

Answer 1

考點：對數的運算性質

專題：函數的性質及應用

分析：由函數的定義域，得0＜x＜4，a+2x＞0，從而x²-2x+a=0，由此利用分類討論思想推導出當a=1時，方程只有一個根，x=1；當0＜a＜1時，方程有兩個根，分別是x₁=1+

1-a

，x₂=1-

1-a

；當-8＜a≤0時，方程有一個根，是x₁=1+

1-a

；當a＞1或a≤-8時，方程無解．

解答： 解：首先根據函數的定義域，得

x＞0 4-x＞0 a+2x＞0

，
∴0＜x＜4，a+2x＞0…（1）
在上述條件下，原方程可改寫為，
x（4-x）=a+2x，
整理，得：x²-2x+a=0…（2）
由△=4-4a=4（1-a）≥0，得a≤1…（3）
當a=1時，只有一個根，x=1，滿足條件（1）要求，故是原方程的根．
當a＜1時，方程（2）兩個根分別為：x₁=1+

1-a

，x₂=1-

1-a

，
對于x₁：0＜1+

1-a

＜4…（5），a+2（1+

1-a

）＞0…（6）
解方程（5），得

1-a

＜3，解得a＞-8，
解方程（6），得a+2（1+

1-a

）＞0，解得a＞-8，
即對x₁，僅當-8＜a＜1 時是原方程的根．
對于x₂：0＜1-

1-a

＜4…（7），a+2（1-

1-a

）＞0…（8）
解方程（7），得0＜a＜1，
解方程（8），得

1-a

＜

a

2

+1，
當a＜-2時，不可能成立．當a≥-2時，a（a+8）＞0，解得a＞0，
即對x₂，僅當0＜a＜1時是原方程的根．
綜上：當a=1時，方程只有一個根，x=1；
當0＜a＜1時，方程有兩個根，分別是x₁=1+

1-a

，x₂=1-

1-a

；
當-8＜a≤0時，方程有一個根，是x₁=1+

1-a

；
當a＞1或a≤-8時，方程無解．

點評：本題考查方程的解的個數的討論，是中檔題，解題時要認真審題，注意對數運算性質和分類討論思想的合理運用．